CABLE SPATIAL |
CONCEPT DE CABLE SPATIAL
:Le système le plus simple est celui de 2 satellites de masse m et M reliés par un câble assimilé à un fil.
Position d'équilibre stable
: Un équilibre relatif existe avec les 2 masses et le "fil" alignés vers le centre Terre. En effet dans cette configuration, aucun moment au centre d'inertie ne contraint le système à s'éloigner de cette position. C'est une application du gradient de gravité.Pourquoi le câble serait-il tendu?
Admettons que nous ayons trouvé la bonne altitude r du centre d'inertie G du système. Alors les points m, G, M tournent alignés sur les cercles C1, C, C2 avec les vitesses angulaires w1, w, w2, égales entre elles.
Or, la masse du bas devrait tourner plus vite ( w1 > w) et celle du haut moins vite ( w <w2) , si ces masses étaient non reliées , sous l'effet de la gravitation. Il en résulte que la force de gravitation du bas devrait donc entraîner m vers le bas et que celle du haut devrait tendre à élever son altitude. Ces deux effets conjugués "tendent" le câble qui est donc soumis à une tension T qui le rigidifie.
Conséquence :
Les masses m et M ne sont pas en "apesanteur" et sont le siège d'une microgravité, dont l'intensité dépend des dimensions du système.
Applications possibles : C'est une question qui préoccupe les astrophysiciens depuis les années 1980, tant les applications peuvent sembler intéressantes. Cependant la mise au point n'est pas encore réalisée.
Les domaines à explorer sont très divers :
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Etc..
I PROBLEME
Constante de gravitation de la Terre :
m = 39,86 104 km3 s-2Rayon terrestre équatorial R = 6378 km
Période sidérale de la Terre Tt = 86164,1 s = 23h 56mn 4,1 s
1°) Avec deux corps assimilables à des points et un câble sans masse, calculer la vitesse d'orbitation circulaire du centre d'inertie G, à une altitude
r.
Données : M, m masses respectivement haute et basse R, r rayons vecteurs associés L = R - r la longueur du câble. |
Cas particulier L=0 ?
2°) Approximation des câbles courts : câbles de 100 km maximum
Alors le rapport L/
r est petit et le calcul relève d'un développement limité à l'ordre 2, un peu pénible mais donnant un résultat simple.Application numérique : M = 25000 kg, m = 5000 kg, r = 300 km, L = 20 km
Calculer la vitesse de G, commentaires? La vitesse angulaire du câble, les vitesses respectives de M et m. Vous retrouverez qu'une masse va moins vite et que l'autre a une vitesse supérieure à la vitesse képlérienne. Vous évaluerez ces écarts.
3°) Calcul de la tension du câble :
Ce calcul s'opère avec la loi fondamentale appliquée à chacune des masses séparément. Vous devriez confirmer les calculs en trouvant une tension identique dans les 2 calculs.
1°) La loi fondamentale en G, et les relations associées au barycentre donnent :
Cas particulier
: Naturellement, nous retrouverons la vitesse képlérienne classique2°) Approximation des câbles courts.
Application numérique
: r = 6578 kmVitesse képlérienne VK (300)= 7725.8352 m/s
Vitesse de G : r = 6661.3333 km, R = 6681.3333 km, on retrouve L = R - r = 20 km
V(câble en G) = 7725.8352*(1+1.8686 10-6 ) = 7725.8496 m/s soit une différence avec la vitesse képlérienne de 0.01444 m/s de l'ordre du cm/s.
Vitesse angulaire du câble :
w = 7725.8496 / 6678000 = 1.1569107 10 -3 rd/s, ce qui donne les vitesses de M et V(m) = 1.1569107 10 -3 *6661.8352 = 7706.568m/s alors qu'en képlérien on aurait VK(m) = 7735.494 m/s, soit une différence de 28.93 m/s ce qui n'est pas négligeable.Pour m on a de même V(M) = 1.1569107 10 -3 *6681.3333 = 7729.908.706 m/s alors qu'en képlérien on aurait VK(m) = 7723.908 m/s, soit une différence de 5.798 m/s.
3°) Tension du câble :
Le calcul non détaillé donne :
Ce sont des tensions extrêmement faibles, ce qui laisse supposer que la technique du déploiement n orbite doit se révéler très délicate, car le câble est "mou".
Guiziou novembre 2005