CABLE SPATIAL

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CONCEPT DE CABLE SPATIAL :

Le système le plus simple est celui de 2 satellites de masse m et M reliés par un câble assimilé à un fil.

Position d'équilibre stable : Un équilibre relatif existe avec les 2 masses et le "fil" alignés vers le centre Terre. En effet dans cette configuration, aucun moment au centre d'inertie ne contraint le système à s'éloigner de cette position. C'est une application du gradient de gravité.

Pourquoi le câble serait-il tendu?

Admettons que nous ayons trouvé la bonne altitude r du centre d'inertie G du système. Alors les points m, G, M tournent alignés sur les cercles C1, C, C2 avec les vitesses angulaires w1, w, w2, égales entre elles.

Or, la masse du bas devrait tourner plus vite ( w1 > w) et celle du haut moins vite ( w <w2) , si ces masses étaient non reliées , sous l'effet de la gravitation. Il en résulte que la force de gravitation du bas devrait donc entraîner m vers le bas et que celle du haut devrait tendre à élever son altitude. Ces deux effets conjugués "tendent" le câble qui est donc soumis à une tension T qui le rigidifie.

Conséquence :

Les masses m et M ne sont pas en "apesanteur" et sont le siège d'une microgravité, dont l'intensité dépend des dimensions du système.

Applications possibles : C'est une question qui préoccupe les astrophysiciens depuis les années 1980, tant les applications peuvent sembler intéressantes. Cependant la mise au point n'est pas encore réalisée.

Les domaines à explorer sont très divers :

  Descente de matériels à partir d'une station orbitale, vers une planète pour en observer la surface de plus près ou en pénétrant une possible atmosphère, y prélever des échantillons.

  Installations de stations captives en orbite basse, autour de la Lune ou de la Terre.

  Réalisation d'une gravité artificielle, expériences en microgravité.

  Utilisation des propriétés électrodynamiques d'une atmosphère, pour générer des courants dans le câble ( production d'énergie) ou au contraire envoyer un courant, et utiliser le champ magnétique pour créer une force de freinage ou d'accélération.

Etc..

I PROBLEME

Constante de gravitation de la Terre : m = 39,86 104 km3 s-2

Rayon terrestre équatorial R = 6378 km

Période sidérale de la Terre Tt = 86164,1 s = 23h 56mn 4,1 s

1°) Avec deux corps assimilables à des points et un câble sans masse, calculer la vitesse d'orbitation circulaire du centre d'inertie G, à une altitude r.

Données :

M, m masses respectivement haute et basse

R, r rayons vecteurs associés

L = R - r la longueur du câble.

Cas particulier L=0 ?

2°) Approximation des câbles courts : câbles de 100 km maximum

Alors le rapport L/r est petit et le calcul relève d'un développement limité à l'ordre 2, un peu pénible mais donnant un résultat simple.

Application numérique : M = 25000 kg, m = 5000 kg, r = 300 km, L = 20 km

Calculer la vitesse de G, commentaires? La vitesse angulaire du câble, les vitesses respectives de M et m. Vous retrouverez qu'une masse va moins vite et que l'autre a une vitesse supérieure à la vitesse képlérienne. Vous évaluerez ces écarts.

3°) Calcul de la tension du câble :

Ce calcul s'opère avec la loi fondamentale appliquée à chacune des masses séparément. Vous devriez confirmer les calculs en trouvant une tension identique dans les 2 calculs.

 

II SOLUTION

1°) La loi fondamentale en G, et les relations associées au barycentre donnent :

Cas particulier : Naturellement, nous retrouverons la vitesse képlérienne classique

2°) Approximation des câbles courts.

Application numérique : r = 6578 km

Vitesse képlérienne VK (300)= 7725.8352 m/s

Vitesse de G : r = 6661.3333 km, R = 6681.3333 km, on retrouve L = R - r = 20 km

V(câble en G) = 7725.8352*(1+1.8686 10-6 ) = 7725.8496 m/s soit une différence avec la vitesse képlérienne de 0.01444 m/s de l'ordre du cm/s.

Vitesse angulaire du câble : w = 7725.8496 / 6678000 = 1.1569107 10 -3 rd/s, ce qui donne les vitesses de M et V(m) = 1.1569107 10 -3 *6661.8352 = 7706.568m/s alors qu'en képlérien on aurait VK(m) = 7735.494 m/s, soit une différence de 28.93 m/s ce qui n'est pas négligeable.

Pour m on a de même V(M) = 1.1569107 10 -3 *6681.3333 = 7729.908.706 m/s alors qu'en képlérien on aurait VK(m) = 7723.908 m/s, soit une différence de 5.798 m/s.

3°) Tension du câble :

Le calcul non détaillé donne :

Ce sont des tensions extrêmement faibles, ce qui laisse supposer que la technique du déploiement n orbite doit se révéler très délicate, car le câble est "mou".

 

Guiziou novembre 2005